| |

Time: | Speed: | Bodies:

Name Massa

Radius Color

X Y

Vx Vy

Velo

Delay

Count

Size

Kω

Distr

Delay

{
 imurl: './assets/task1.png',
 title: 'Зірка з планетою на круговій орбіті',
 init:
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"lightblue"}]`,
 cond:
 `В системі «зірка-планета» планета знаходиться на певній відстані від зірки. 
 Надайте планеті таку швидкість, щоб вона почала рухатись навколо зірки по круговій орбіті.`,
 help:
 `І зірка, і планета будуть обертатися навкруги центра мас системи. 
 Якщо маса планети є малою відносно маси зірки, центр мас і центр зірки майже співпадають, і можна казати про обертання планети навкруги зірки.
 Рух по колу потребує щоб відцентрова сила врівноважувалася силою тяжіння, тобто
 \\( {mv^2 \\over r} = {G Mm \\over r^2} \\) 
 З цієї формули можна вирахувати необхідну швидкість.`,
 solv:
 `Виводимо швидкість із попередньої формули
 \\( v=\\sqrt{GM \\over r} \\)
 За цією фркмулою і з параметрів системи обчислюємо швидкість планети: \\(v = 5\\).
 Встановлюємо для планети: vx = 0, vy = 5.`,
 final:
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":5,"color":"lightblue"}]`,
 },

{
 imurl: './assets/task2.png',
 title: 'Зірка з планетою на еліптичній орбіті',
 init:
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":5,"color":"lightblue"}]`,
 cond:
 `Є система «зірка-планета» і планета знаходиться на заданій відстані r від зірки. 
 Надайте планеті таку швидкість, щоб вона почала рухатись навколо зірки по еліпсу з великою віссю d.`,
 help:
 `Найпростішим вирішення буде, якщо в початковому стані планета знаходиться в афелію чи в перигелію своєї орбіти.
 Спершу визначимо, де саме. Якщо r < d/2, це перигелій, інакше це афелій.
 За законом тяжіння Ньютона потенційна енергія планети масою m на відстані від зірки r дорівнює
 \\( -GMm \\over r \\).
 За законом збереження енергії сума кінетичної і потенційної енергії планети в афелії і в перигелії однакові.
 \\( {mv_a^2 \\over 2}-{GMm \\over r_a} = {mv_p^2 \\over 2}-{GMm \\over r_p} \\)
 З цієї формули и закону збереження кутового моменту можна отримати початкову швидкість планети.
 `,
 solv:
 `За законом збереження кутового моменту \\( mv_a r_a=mv_p r_p \\),
 тобто \\( v_p = {r_a \\over r_p}v_a \\)
 Знаходимо \\(v_a\\) з огляду на те, що \\(r_p=d-r_a \\)
 \\( v_a=\\sqrt{ 2GMr_p \\over dr_a } \\)
 Так само виводиться і \\( v_p=\\sqrt{ 2GMr_a \\over dr_p } \\)
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( M = 10^4; r_a=300; d=400.\\)
 В результаті розрахунку \\( v_a≈ 3.162 \\)`,
 final:
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":3.162,"color":"lightblue"}]`,
 },

{
 imurl: './assets/task3.png',
 title: 'Подвійна зірка',
 init: 
 `[{"name":"Sun1","m":10000,"r":20,"x":-300,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Sun2","m":10000,"r":20,"x": 300,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"coral"}]`,
 cond:
 `В системі подвійної зірки обидві зірки мають однакові маси m, відстань між їх центрами – r.
 Обрати таку швидкість окремих зірок, яка забезпечить існування системи подвійної зірки.`,
 help:
 `Подвійна зірка буде існувати, коли зірки будуть обертатися навколо центра мас, 
 а не розлетяться на нескінченну відстань і не впадуть одна на одну.
 В будь-який момент часу система має потенційну енергію тяжіння \\( -{Gm^2}\\over r \\) 
 і кінетичну енергію \\( mv^2 \\).
 Надали зірки можуть зближуватися, розходитися або зберігати початкову відстань, якщо траєкторія кожної зірки будуть колами.
 В цьому випадку доцентрова сила \\(mv^2 \\over r/2 \\) є силою тяжіння до протилежної зірки \\( Gm^2 \\over r^2 \\).`,
 solv:
 `Прирівняємо силу тяжіння до доцентрової сили 
 \\( {mv^2 \\over r/2}={Gm^2 \\over r^2} \\) 
 і знайдемо початкову швидкість.
 \\( v= √{Gm \\over 2r} \\)
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( m=10000; r=600;\\).
 В результаті розрахунку \\( v ≈ 2.888 \\)`,
 final:
 `[{"name":"Sun1","m":10000,"r":20,"x":-300,"y":0,"vx":0,"vy":-2.888,"color":"yellow"},
 {"name":"Sun2","m":10000,"r":20,"x": 300,"y":0,"vx":0,"vy":2.888,"color":"coral"}]`,
 },

{
 imurl: './assets/task4.png',
 title: 'Зірка - планета - супутник',
 init: 
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":5,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"lightblue"},
 {"name":"Moon","m":0.1,"r":2,"x":410,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"white"}]` ,
 cond:
 `Створити систему зірка-планета-супутник. Планета обертається навкруги зірки, а супутник - навкруги планети.
 Маса зірки набагато більша за масу планети, а маса планети набагато більша за масу супутника, \\( M ≫ m_p ≫ m_s \\).`,
 help:
 `Задане співвідношення мас дозволяє вірішувати задача у два етапи.
 Спочатку змусимо планету обертатися навкруги зірки без супутника. 
 Швидкість планети вирахуємо за формулою \\( v=\\sqrt{GM \\over r_p} \\) , тут \\( r_p \\) - відстань від планети до зірки.
 Потім, дамо планеті супутник, який буде кружляти навкруги планети, як планета кружляє навкруги зірки.`,
 solv:
 `При визначенні швидкості супутника врахуємо, що планета, на відміну від зірки, рухається.
 \\( v_s=\\sqrt{{G m_p}\\over r_s} + v_p \\)
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( M=10000; m_p=100; m_s=0.1; r_p=400; r_s=10\\). 
 В результаті розрахунку \\( v_p=5; v_s=1+5=6 \\).`,
 final: 
 `[{"name":"Sun","m":10000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":10,"r":5,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":5,"color":"lightblue"},
 {"name":"Moon","m":0.1,"r":2,"x":410,"y":0,"vx":0,"vy":6,"color":"white"}]`
 },

{
 imurl: './assets/task5.png',
 title: 'Перша космічна швидкість',
 init: 
 `[{"name":"Earth","m":10000,"r":300,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"green"},
 {"name":"ball","m":0.001,"r":5,"x":0,"y":320,"vx":5,"vy":0,"color":"coral"}]`,
 cond:
 `Задана планета і висота над поверхнею планети. 
 З цієї висоти робить горизонтальний постріл гармата, яку зобразив Ньютон в книзі «Трактат про систему світу». 
 Оберіть швидкість снаряду, яка забезпечить його політ по колу навкруги планети. 
 Роль снаряду буде виконувати планета-супутник, яку розташуємо на висоті гори, саму гору малювати не будемо.`,
 help:
 `Маса планети - M, радіус планети - r, висота над поверхнею - h, швидкість планети-снаряду – v. 
 Для польоту по колу радіусом R = r + h формула шидкості виведена в завданні 2.
 `,
 solv:
 ` \\( v=\\sqrt{GM/R} \\)
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( M= 10^4; r=300; h=20 \\). 
 В результаті розрахунку \\( v=5.590 \\).`,
 final:
 `[{"name":"Earth","m":10000,"r":300,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"green"},
 {"name":"ball","m":0.001,"r":5,"x":0,"y":320,"vx":5.590,"vy":0,"color":"coral"}]`,
 },

{
 imurl: './assets/task6.png',
 title: 'Долетімо до самого Сонця',
 init:
 `[{"name":"Sun","m":1000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":0.01,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.581,"color":"lightblue"}]`,
 cond:
 `Планета обертається навкруги центральної зірки по круговій орбіті.
 Запустити ракету з планети так, щоб вона наблизилась до центра зірки на два її радіуса 
 і після того стала обертатися навкруги зірки. Визначити початкову швидкість ракети.`,
 help:
 `Нехай R – радіус зірки, M – її маса, S – відстань від планети до зірки.
 Тоді ракета має рухатися по еліпсу з великою віссю \\( d=r_a+r_p \\) , де \\( r_a=S, r_p=2R \\)`,
 solv:
 `Спершу треба з'ясувати, в афелії чи перигелії знаходиться планета підчас старту ракети. 
 Якщо S > 2R, це афелій.
 \\( v_a=\\sqrt{{2GMr_p} \\over d r_a } + v_{планети}\\) 
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( M= 1000; S=400; R=25 \\). 
 В результаті розрахунку \\( v=-0.836 \\).`,
 final:
 `{"planets":[{"name":"Earth","m":0.01,"r":8,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.581,"color":"lightblue"},
 {"name":"Sun","m":1000,"r":25,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"}],
 "starters":[{"kind":1,"velo":-0.836,"param2":0,"startStep":0,"planetName":"Earth"}]}`,
 },

{ 
 imurl: './assets/task7.png',
 title: 'До орбіти Марсу',
 init: 
 `[{"name":"Sun","m":1000,"r":20,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"},
 {"name":"Earth","m":0.001,"r":7,"x":300,"y":0,"vx":0,"vy":1.826,"color":"lightblue"},
 {"name":"Mars","m":0.001,"r":6,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.5811,"color":"orange"}]`,
 cond:
 `Дві планети (умовно Земля і Марс) обертаються навкруги центральної зірки (умовно Сонця) по круговим орбітам. 
 Запустити ракету з Землі так, щоб вона досягла орбіти Марса. 
 Визначити мінімально необхідну для того швидкість ракети.`,
 help: 
 `Згідно з першим законом Кеплера орбіта ракети має бути еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. 
 Перигелійна відстань орбіти \\( r_p \\) це відстань від зірки до Землі, 
 афелійна відстань \\( r_a \\) – відстань від зірки до Марса. 
 Будемо зневажати тяжінням Землі, яке діє на ракету, тому що при старті з земної поверхні 
 прискорення від Землі становить 0.001/7² ≈ 0.00002, а прискорення від Сонця 1000/300² ≈ 0.01, тобто e 500 разів більше.`,
 solv:
 `Скористаємося вже відомою формулою для розрахунку початкової, тобто перигелійної, швидкості ракети.
 \\( v_p=\\sqrt{\\frac{2GMr_a}{(r_a+r_p)r_p}} \\) 
 Щоб визначити швидкість ракети відносно Сонця, віднімемо від неї швидкість Землі. 
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени \\( M = 1000; r_p = 300; r_a = 400 \\). 
 В результаті розрахунку \\( v_p= 1.952, v_{rocket}= v_p-v_{Earth} = 0.126 \\).`,
 final:
 `{"planets":[{"name":"Mars","m":0.001,"r":6,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.581,"color":"orange"},
 {"name":"Earth","m":0.001,"r":7,"x":300,"y":0,"vx":0,"vy":1.826,"color":"lightblue"},
 {"name":"Sun","m":1000,"r":20,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"}],
 "starters":[{"kind":1,"velo":0.126,"count":0,"size":0,"startStep":0,"planetName":"Earth"}]}`,
 },

{ 
 imurl: './assets/task8.png',
 title: 'Подорож на Марс',
 init:
 `{"planets":[{"name":"Mars","m":0.001,"r":6,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.5811388300841898,"color":"orange"},
 {"name":"Earth","m":0.001,"r":7,"x":300,"y":0,"vx":0,"vy":1.8257418583505538,"color":"lightblue"},
 {"name":"Sun","m":1000,"r":20,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"}],
 "starters":[]}`,
 cond:
 `Щоб висадитися на Марс, ракета повинна досягти його орбіти в той самий час,
 коли Марс опиниться в точці досягнення. Тому треба обрати не лише швидкість ракети, а і час її запуску.`,
 help: 
 `Завдяки круговій орбіті Марса, період його обертання можна визначити, поділивши довжину орбіти на швидкість планети.
 \\( {2πr_M} \\over v_M \\)
 Третій закон Кеплера говорить, що квадрати періодів обертання відносяться, 
 як куби великих осей орбіт, тому період обертання ракети \\( T_r = T_M \\sqrt{ {{r_r}^3} \\over {{r_M}^3} } \\)
 і ракета досягне орбіти Марса за половину свого періоду \\( T_r/2 \\).
 Кутова швидкість марса \\( ω_M=2π/T_M \\) , тому за цей час Марс просунеться на кут 
 \\( {ω_M T_r} \\over 2 \\) = \\( π {{T_r} \\over {T_M}} \\). 
 До зустрічі з ракетою йому не вистачить кута \\( φ=π-π {T_r \\over T_M} \\) 
 Тому запускати ракету с Землі варто, коли у своєму русі Марс 
 буде випереджати Землю на кут φ, або, що те ж саме, Земля буде попереду Марса на кут \\( 2π - φ \\).`,
 solv: 
 `Кутова швидкість Землі відносно Марса \\( ω = ω_E - ω_M = 2π(1/T_E - 1/T_M ) \\)
 Виходячи з початкового стану системи, потрібне випередження виникне за час
 \\( t = {{2π-φ} \\over {ω}}\\)
 Дані для розрахунку беремо з початкової сцени.
 В результаті розрахунку \\( v_{rocket} = 0.126; t = 2678 \\).`,
 final:
 `{"planets":[{"name":"Mars","m":0.001,"r":6,"x":400,"y":0,"vx":0,"vy":1.581,"color":"orange"},
 {"name":"Earth","m":0.001,"r":7,"x":300,"y":0,"vx":0,"vy":1.826,"color":"lightblue"},
 {"name":"Sun","m":1000,"r":20,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"yellow"}],
 "starters":[{"kind":1,"velo":0.126,"count":0,"size":0,"startStep":2678,"planetName":"Earth"}]}`,
 },

{   
        imurl: 'https://esu.com.ua/images/article_images/A/Andromedi%20tumannisty.jpg',
        title: 'Туманність',
        init:
            `{"planets":[{"name":"Noname1","m":50,"r":10,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"white"}],
            "starters":[{"kind":2,"count":1000,"size":400,"velo":0, "startStep":100, "distr": "polar", "planetName":"Noname1"}]}`,
        cond:
            `Створити туманність, яка під впливом тяжіння перетвориться в планетну систему,
            в якій зосередиться не менше, ніж 80% первинної маси туманності.`,
        help: 
            `Може допомогти наближення фактору обертання до 0.5.`,
        solv: 
            `Kω = 0.4`,
        final:
            `{"planets":[{"name":"Noname1","m":50,"r":10,"x":0,"y":0,"vx":0,"vy":0,"color":"white"}],
            "starters":[{"kind":2,"count":1000,"size":400,"velo":0.7, "startStep":100, "distr": "polar", "planetName":"Noname1"}]}  `,
    },